Na Matemática, nem sempre é fácil mostrar o óbvio. Porque o que nos é apresentado, é dado de maneira errada, é errado pensar que determinado fato é óbvio só porque conseguimos visualizá-lo. Quando digo isso, me refiro à demonstração do fato, pois muitas vezes a nossa intuição nos leva a crer que uma dada proposição é correta apenas porque nos parece claro e razoável que o seja.
Uma pergunta simples: "Quantos números primos existem?". Em quase todas as vezes em que se pergunta isso a alguém, esse alguém responde (e é bastante natural que isso ocorra) que os primos são infinitos. Ora, isso nem chega a nos passar pelo sentido, intuitivamente dizemos que eles são infinitos, somos levados a dizer isso por alguma lembrança infantil, ou porque isso já é um fato consolidado em nossas mentes, ou por qualquer outro motivo. Só que para a Matemática, essa intuição não basta. Se pensarmos mais um pouco, surge uma outra pergunta: "Será que sempre vai existir um número que só é divisível por um e por ele mesmo?". A pergunta central aqui é justamente o que vai nos garantir que tal número irá sempre existir ou não.
Os números primos de fato são infinitos. Mas essa garantia que nós temos disso, não foi dada a partir desse pensamento intuitivo. Euclides demonstrou essa proposição a mais de 2000 anos, de forma clara e satisfatória, e essa mesma demonstração ainda válida até hoje, mesmo havendo variações para a mesma. Apesar da demonstração para esse problema ser simples e de fácil entendimento, acho que não cabe mostrá-la aqui, e nem agora.
Um exemplo fácil de mostrar como a nossa intuição pode nos levar a erros é o seguinte: dado o número P = n² - n + 41, com n pertencente aos naturais (0, 1, 2, 3, ...), temos que o número P é primo para n = 0, 1, 2, ..., 40. Se testássemos apenas esses primeiros valores, naturalmente constataríamos que todo número da forma n² - n + 41 é primo. Mas veja que para n = 41, temos P = 1681, que é igual 41², que não é primo. Esse número que obtemos é chamado de contra-exemplo, e a partir dele mostramos que a proposição é falsa.
O que se deve ressaltar é que, a Matemática requer demonstrações rigorosas que garantam a validade de um dado evento para qualquer instância sua. Essas instâncias são os infinitos casos em que o evento pode ocorrer. Não há uma forma de realizar operações para todas as instâncias, afinal elas são infinitas. Então temos de pensar num modo de garantir isso para todos os casos sem precisar testá-los um por um. A esse modo dá-se o nome de Demonstração. E é nessa busca por uma demonstração rigorosa que a obviedade da coisa desaparece, quando vemos que mostrar uma coisa que a princípio era claro, nos deparamos com a dificuldade em encontrar a garantia de que aquilo é válido para suas infinitas instâncias.
Esqueçam que as coisas são óbvias, mesmo que pareça razoável pensar que sejam, e até mesmo que o sejam, pois a Matemática não é construída a partir de adivinhações, nem de pensamentos puramente intuitivos. Os matemáticos não querem demonstrações infalíveis para que suas proposições jamais possam ser revistas ou refutadas, o que os matemáticos querem são provas que possam validar determinados resultados, para que possam ser usados em novos teoremas, novas descobertas, novas construções desse pensamento humano que é a Matemática.
Uma pergunta simples: "Quantos números primos existem?". Em quase todas as vezes em que se pergunta isso a alguém, esse alguém responde (e é bastante natural que isso ocorra) que os primos são infinitos. Ora, isso nem chega a nos passar pelo sentido, intuitivamente dizemos que eles são infinitos, somos levados a dizer isso por alguma lembrança infantil, ou porque isso já é um fato consolidado em nossas mentes, ou por qualquer outro motivo. Só que para a Matemática, essa intuição não basta. Se pensarmos mais um pouco, surge uma outra pergunta: "Será que sempre vai existir um número que só é divisível por um e por ele mesmo?". A pergunta central aqui é justamente o que vai nos garantir que tal número irá sempre existir ou não.
Os números primos de fato são infinitos. Mas essa garantia que nós temos disso, não foi dada a partir desse pensamento intuitivo. Euclides demonstrou essa proposição a mais de 2000 anos, de forma clara e satisfatória, e essa mesma demonstração ainda válida até hoje, mesmo havendo variações para a mesma. Apesar da demonstração para esse problema ser simples e de fácil entendimento, acho que não cabe mostrá-la aqui, e nem agora.
Um exemplo fácil de mostrar como a nossa intuição pode nos levar a erros é o seguinte: dado o número P = n² - n + 41, com n pertencente aos naturais (0, 1, 2, 3, ...), temos que o número P é primo para n = 0, 1, 2, ..., 40. Se testássemos apenas esses primeiros valores, naturalmente constataríamos que todo número da forma n² - n + 41 é primo. Mas veja que para n = 41, temos P = 1681, que é igual 41², que não é primo. Esse número que obtemos é chamado de contra-exemplo, e a partir dele mostramos que a proposição é falsa.
O que se deve ressaltar é que, a Matemática requer demonstrações rigorosas que garantam a validade de um dado evento para qualquer instância sua. Essas instâncias são os infinitos casos em que o evento pode ocorrer. Não há uma forma de realizar operações para todas as instâncias, afinal elas são infinitas. Então temos de pensar num modo de garantir isso para todos os casos sem precisar testá-los um por um. A esse modo dá-se o nome de Demonstração. E é nessa busca por uma demonstração rigorosa que a obviedade da coisa desaparece, quando vemos que mostrar uma coisa que a princípio era claro, nos deparamos com a dificuldade em encontrar a garantia de que aquilo é válido para suas infinitas instâncias.
Esqueçam que as coisas são óbvias, mesmo que pareça razoável pensar que sejam, e até mesmo que o sejam, pois a Matemática não é construída a partir de adivinhações, nem de pensamentos puramente intuitivos. Os matemáticos não querem demonstrações infalíveis para que suas proposições jamais possam ser revistas ou refutadas, o que os matemáticos querem são provas que possam validar determinados resultados, para que possam ser usados em novos teoremas, novas descobertas, novas construções desse pensamento humano que é a Matemática.
Nenhum comentário:
Postar um comentário